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線形代数学 I / 基礎 / II

第6回 講義ノート：データサイエンスに必要な行列

1. 講義情報と予習ガイド

  • 講義回: 第6回
  • 関連項目: 行列の特殊形、行列の性質

  • 予習すべき内容:

    • 行列の定義（第4回）
    • 行列の和とスカラー倍（第4回）
    • 行列の積（第5回）

  • スライド: スライド

2. 学習目標

  1. 単位行列の定義と性質を理解し、応用できる
  2. 転置行列の定義と性質を理解し、応用できる
  3. 対称行列の定義と性質を理解し、応用できる

3. 基本概念

3.1 単位行列（Identity Matrix）

定義: \(n\)次の単位行列 \(I_n\) は、主対角線上の要素がすべて1で、それ以外の要素がすべて0である正方行列である。

\[ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \]

例: 2次単位行列と3次単位行列

\[ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

単位行列の性質:

  1. 任意の行列 \(A\) に対して: \(AI = IA = A\) （ただし \(I\) は適切なサイズの単位行列）
  2. 単位行列 \(I\) は対称行列である
  3. 単位行列 \(I\) の逆行列は \(I\) 自身である: \(I^{-1} = I\)
  4. 単位行列 \(I\) のランクは \(n\) である（\(I\) が \(n \times n\) 行列の場合）

数値例:

ある \(2 \times 2\) 行列 \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\) と単位行列 \(I_2\) との積を計算してみましょう。

\[ A \cdot I_2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = A \]

同様に \(I_2 \cdot A\) も計算すると結果は \(A\) になります。

3.2 転置行列（Transpose Matrix）

定義: 行列 \(A\) の転置行列 \(A^T\) は、\(A\) の行と列を入れ替えた行列である。

\(A\) が \(m \times n\) 行列の場合、\(A^T\) は \(n \times m\) 行列となる。

具体的には、\(A = (a_{ij})\) に対して、\(A^T = (a_{ji})\) である。

例: 行列 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\) の転置行列は:

\[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]

転置行列の性質:

  1. \((A^T)^T = A\)
  2. \((A + B)^T = A^T + B^T\)
  3. \((cA)^T = cA^T\) （\(c\) はスカラー）
  4. \((AB)^T = B^T A^T\) （行列の積の転置は、転置の積の順序を逆にしたものに等しい）
  5. \(\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)\) （行列とその転置のランクは等しい）

数値例:

行列 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) と \(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\) について、\((A + B)^T\) と \(A^T + B^T\) が等しいことを確認します。

\[ A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]
\[ (A + B)^T = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \]
\[ A^T + B^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \]

したがって、\((A + B)^T = A^T + B^T\) が成り立ちます。

3.3 対称行列（Symmetric Matrix）

定義: 正方行列 \(A\) が対称行列であるとは、\(A = A^T\) が成り立つことである。つまり、\(a_{ij} = a_{ji}\) がすべての \(i, j\) について成り立つ。

例:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]

この行列では、\(a_{12} = a_{21} = 2\), \(a_{13} = a_{31} = 3\), \(a_{23} = a_{32} = 5\) となっており、主対角線に関して対称な位置にある要素が等しいため、対称行列です。

対称行列の性質:

  1. 対称行列の対角要素 \(a_{ii}\) は実数である（複素行列の場合、エルミート行列の対角要素は実数）
  2. 対称行列の固有値はすべて実数である（後の講義で詳細に説明）
  3. 異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交する（後の講義で詳細に説明）
  4. 任意の行列 \(A\) に対して、\(A^T A\) と \(A A^T\) は常に対称行列である
  5. 対称行列同士の和も対称行列になる

数値例:

任意の行列から対称行列を作る方法として、\(A^T A\) を計算してみましょう。

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]
\[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \]
\[ A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \\ 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 14 \\ 14 & 20 \end{pmatrix} \]

結果の行列が対称行列になっていることを確認できます。

4. 演習問題

行列の積

  1. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\) とする。\(AB\) を計算せよ。

  2. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) とする。\(BA\) を計算せよ。

  3. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\) とする。\(AB\) と \(BA\) を計算せよ。

  4. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\) とする。\(AB\) を計算せよ。

  5. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) とする。\(AC\) と \(CA\) はそれぞれ定義されるか。定義される場合は計算し、定義されない場合はその理由を述べよ。

  6. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) とする。\(A^2\) と \(A^3\) を計算せよ。（\(A^2 = AA\), \(A^3 = AAA\)）

  7. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)、\(E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)、\(E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) とする。\(E_2 A\) と \(A E_3\) を計算し、結果が \(A\) と一致することを確認せよ。

  8. \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) と \(2 \times 2\) の単位行列 \(E\) について、\(AE = EA = A\) となることを計算により確認せよ。

  9. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\) の転置行列 \(A^T\) を求めよ。

  10. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) とする。\((A+B)^T\) と \(A^T + B^T\) をそれぞれ計算し、両者が等しいことを確認せよ。

  11. 問10の行列 \(A, B\) について、\((AB)^T\) と \(B^T A^T\) をそれぞれ計算し、両者が等しいことを確認せよ。

  12. 次の行列の中から、(i) 対称行列、(ii) 反対称行列（\(B^T = -B\)となる行列）をすべて選べ。 (a) $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$ (b) $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ (c) $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$ (d) $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ (e) $$ \begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ (f) $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

  13. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}\) とする。\(A^T A\) を計算し、この結果が対称行列になることを確認せよ。

  14. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) とする。\(S = \frac{1}{2}(A + A^T)\) と \(K = \frac{1}{2}(A - A^T)\) をそれぞれ計算せよ。そして、\(S\) が対称行列、\(K\) が反対称行列であり、かつ \(A = S + K\) が成り立つことを確認せよ。

  15. \(A, B\) を \(n \times n\) 行列とする。\(X = A^T B A\) とおく。 (a) \(X^T\) を \(A, B, A^T, B^T\) を用いて表せ。 (b) \(B\) が対称行列である場合、\(X = A^T B A\) も対称行列になることを示せ。

  16. 対称・反対称部分への分解と積 任意の \(n \times n\) 正方行列 \(A\) に対して、\(S = \frac{1}{2}(A+A^T)\)（対称部分）、\(K = \frac{1}{2}(A-A^T)\)（反対称部分）とおく。 (a) \(A = S+K\) および \(A^T = S-K\) であることを確認せよ。 (b) \(A A^T\) を \(S\) と \(K\) を用いて表せ。（ヒント: \(A A^T = (S+K)(S-K)\) を展開する）

  17. 対称行列の決定と性質 行列 \(A = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 2 & 3 & z \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) が対称行列であるように、\(x, y, z\) の値を定めよ。

  18. 転置と双線形形式 \(A\) を \(n \times n\) 行列、\(x, y\) を \(n \times 1\) の列ベクトルとする。\(s = x^T A y\) はスカラー（\(1 \times 1\) 行列）である。 (a) \(s^T\) を \(x, y, A\) の転置を用いて表せ。（スカラーの転置は元のスカラーと同じであることを思い出そう） (b) \(A\) が対称行列のとき、\(x^T A y = y^T A x\) が成り立つことを示せ。

  19. 条件を満たす対称行列 次の3つの条件をすべて満たす \(2 \times 2\) 行列 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) を\(b\)を用いて表せ。 (i) \(A\) は対称行列である。(\(c=b\)) (ii) \(A\) の対角成分の和（トレース）は 5 である (\(a+d=5\))。 (iii) \(A\) の行列式は 4 である (\(ad-bc=4\))。