線形代数学 第13回：連立一次方程式の解の分類
1. 講義情報と予習ガイド
講義回: 第13回
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演習問題: こちら
2. 学習目標
本講義を修了するころには、以下のことができるようになることを目指します。
- 連立一次方程式の解の種類（唯一解、無数の解、解なし）を理解し、区別できる。
- 与えられた連立一次方程式について、解が存在するための条件を判定できる。
- 連立一次方程式の解が幾何学的に何を意味するのかを説明できる。
- 行列のランクと連立一次方程式の解の種類の関係性を明確に説明できる。
3. 基本概念の確認
3.1 連立一次方程式とその行列表現
\(n\) 個の未知数 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) に関する \(m\) 個の一次方程式からなる連立一次方程式を考えます。
この連立一次方程式は、行列とベクトルを用いて次のように簡潔に表現できます。
ここで、 - \(A\): \(m \times n\) の係数行列 $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$ - \(\mathbf{x}\): \(n\) 次元の未知数ベクトル (解ベクトル) $$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{bmatrix} $$ - \(\mathbf{b}\): \(m\) 次元の定数ベクトル (右辺ベクトル) $$ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_m \end{bmatrix} $$
3.2 解の定義と種類
定義: 連立一次方程式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) の解とは、この等式を満たす未知数ベクトル \(\mathbf{x}\) の具体的な値（または値の組）のことです。
連立一次方程式の解は、次の3つのいずれかのケースに分類されます。
- 唯一解 (Unique solution): 解がただ一つだけ存在する。
- 無数の解 (Infinitely many solutions): 解が無限に存在する。
- 解なし (No solution): 解が存在しない。
4. 解の存在と一意性に関する理論
4.1 方程式の数と未知数の数による大まかな分類
連立一次方程式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) において、\(m\) は方程式の数、\(n\) は未知数の数を表します。
- \(m < n\) (劣決定系または不足決定系 とも呼ばれる): 未知数の数よりも方程式の数が少ない。
- 一般に、解が存在する場合は無数の解を持つことが多いです。ただし、矛盾する方程式が含まれていれば解なしとなることもあります。
- \(m = n\) (正方系または完全決定系 とも呼ばれる): 未知数の数と方程式の数が等しい。
- 係数行列 \(A\) が正則 (つまり 逆行列が存在する) であれば、唯一解が存在します。
- 係数行列 \(A\) が特異 (つまり 逆行列が存在しない) であれば、無数の解を持つか、解なしとなります。
- \(m > n\) (優決定系または過剰決定系 とも呼ばれる): 未知数の数よりも方程式の数が多い。
- 一般に、解なしとなることが多いです。ただし、冗長な方程式や線形従属な方程式が含まれていて、実質的な方程式の数が未知数の数以下になる場合は、解が存在することもあります。
注意: 上記はあくまで一般的な傾向であり、解の種類を正確に判定するには、次節のランクを用いた条件が必要です。
4.2 行列のランクと解の存在条件（ルーシェ＝カペリの定理）
連立一次方程式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) の解の存在と種類は、係数行列 \(A\) のランク \(\text{rank}(A)\) と、係数行列 \(A\) に定数ベクトル \(\mathbf{b}\) を付け加えた拡大係数行列 \([A|\mathbf{b}]\) のランク \(\text{rank}([A|\mathbf{b}])\) を比較することで厳密に判定できます。
定理 (ルーシェ＝カペリの定理): \(m \times n\) 行列 \(A\) を係数行列とする連立一次方程式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) について、
解が存在するための必要十分条件: \(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}])\)
解の種類:
- \(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) = n\) (未知数の数) の場合: 唯一解が存在する。
- \(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) < n\) の場合: 無数の解が存在する。このとき、\(n - \text{rank}(A)\) 個の自由変数（パラメータ）を使って解を表すことができる。
- \(\text{rank}(A) < \text{rank}([A|\mathbf{b}])\) の場合: 解なし。
4.3 簡約階段行列を用いた解の判定法
ガウスの消去法を用いて拡大係数行列 \([A|\mathbf{b}]\) を簡約階段行列に変形することで、解の種類を判定し、実際に解を求めることができます。
- 唯一解:
- 簡約階段行列において、係数行列部分の各列にピボット (主成分) が存在する。
- すなわち、\(\text{rank}(A) = n\) であり、矛盾する行 (\(0 \ 0 \ \cdots \ 0 \ | \ c\), ただし \(c \neq 0\)) が現れない。
- 無数の解:
- 簡約階段行列において、ピボットを持たない列が係数行列部分に存在する (これが自由変数に対応する)。
- かつ、矛盾する行 (\(0 \ 0 \ \cdots \ 0 \ | \ c\), ただし \(c \neq 0\)) が現れない。
- 解なし:
- 簡約階段行列において、\(0x_1 + 0x_2 + \cdots + 0x_n = c\) (\(c \neq 0\)) という形の方程式に対応する行、すなわち \([0 \ 0 \ \cdots \ 0 \ | \ c]\) (\(c \neq 0\)) という形の行が現れる。これは矛盾を意味する。
5. 具体例と解説
5.1 唯一解を持つ例
連立一次方程式:
拡大係数行列 \([A|\mathbf{b}]\):
ガウスの消去法を適用 (行基本変形):
この簡約階段行列から、\(x=1\), \(y=2\) という唯一解が得られます。
ランクによる確認: - 係数行列 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\) は行基本変形により \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) となるため、\(\text{rank}(A) = 2\)。 - 拡大係数行列 \([A|\mathbf{b}]\) は上記の通り \(\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\) となるため、\(\text{rank}([A|\mathbf{b}]) = 2\)。 - 未知数の数 \(n=2\)。 したがって、\(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) = n = 2\) なので、唯一解が存在します。
5.2 無数の解を持つ例
連立一次方程式:
拡大係数行列 \([A|\mathbf{b}]\):
ガウスの消去法を適用:
この簡約階段行列から、 \(x + \frac{1}{5}z = 1 \implies x = 1 - \frac{1}{5}z\) \(y - \frac{3}{5}z = 2 \implies y = 2 + \frac{3}{5}z\) \(z\) はピボットを持たない列に対応するため、自由変数となります。\(z = t\) (\(t\) は任意の実数) とおくと、解は \(x = 1 - \frac{1}{5}t\), \(y = 2 + \frac{3}{5}t\), \(z = t\) となり、無数の解が存在します。
ランクによる確認: - 簡約階段行列の係数行列部分は \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1/5 \\ 0 & 1 & -3/5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) なので、\(\text{rank}(A) = 2\)。 - 簡約階段行列全体は \(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1/5 & 1 \\ 0 & 1 & -3/5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\) なので、\(\text{rank}([A|\mathbf{b}]) = 2\)。 - 未知数の数 \(n=3\)。 したがって、\(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) = 2 < n = 3\) なので、無数の解が存在します。自由度は \(n - \text{rank}(A) = 3 - 2 = 1\) です。
5.3 解がない例
連立一次方程式:
拡大係数行列 \([A|\mathbf{b}]\):
ガウスの消去法を適用:
この簡約階段行列の第2行は \(0x + 0y = -4\)、すなわち \(0 = -4\) を意味し、これは矛盾です。 したがって、この連立方程式は解なしです。
ランクによる確認: - 簡約階段行列の係数行列部分は \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) なので、\(\text{rank}(A) = 1\)。 - 簡約階段行列全体は \(\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -4 \end{array} \right]\) なので、\(\text{rank}([A|\mathbf{b}]) = 2\)。 したがって、\(\text{rank}(A) = 1 < \text{rank}([A|\mathbf{b}]) = 2\) なので、解は存在しません。
6. 幾何学的解釈
6.1 2次元空間 (平面) での解釈
2つの未知数 \(x, y\) を持つ連立一次方程式は、各方程式が平面上の直線を表現します。
6.2 3次元空間での解釈
3つの未知数 \(x, y, z\) を持つ連立一次方程式は、各方程式が3次元空間内の平面を表現します。
- 唯一解: 3つの平面が1点で交わる。
- 無数の解:
- 3つの平面が1本の直線で交わる (交線が解の集合)。
- 2つの平面が一致し、その平面が第3の平面と1本の直線で交わる。
- 3つの平面がすべて一致する (平面上のすべての点が解)。
- 解なし:
- 少なくとも2つの平面が平行で、共通の交点/交線を持たない。
- 3つの平面が互いに交わるが、共通の交点を持たない (例: 三角柱を形成するように交わる)。
- 3つの平面がすべて平行で、互いに異なる位置にある。
7. 演習問題
7.1 基本問題
- 以下の連立一次方程式を解き、解の種類（唯一解、無数の解、解なし）を判定しなさい。
(a)
(b)
(c)
-
次の係数行列 \(A\) と定数ベクトル \(\mathbf{b}\) で定まる連立一次方程式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) の解の種類を、ランクを調べることによって判定しなさい。
(a) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 3 & 9 & 6 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{bmatrix}\)
(b) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 3 & 9 & 6 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix}\)
-
ある連立一次方程式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) において、係数行列 \(A\) のサイズが \(4 \times 4\) (方程式の数4、未知数の数4) であり、\(\text{rank}(A) = 2\)、\(\text{rank}([A|\mathbf{b}]) = 3\) であった。この方程式の解の種類はどうなるか。理由とともに説明しなさい。
7.2 応用問題
- パラメータ \(\lambda\) を含む以下の連立一次方程式について、\(\lambda\) の値によって解の種類がどのように変化するか調べなさい。
-
3次元空間内の3点 \(P_1(1, 2, 3)\), \(P_2(2, 3, 1)\), \(P_3(3, 1, 2)\) を通る平面の方程式を \(ax + by + cz = d\) とする。
(a) これら3点が平面上にあるという条件から、\(a, b, c, d\) に関する連立一次方程式を立てなさい (ただし、\(a,b,c\) の少なくとも1つは0でないとする)。
(b) (a)で立てた連立一次方程式を解き、平面の方程式を求めなさい (解は一意に定まらない場合、パラメータ表示でよい。例えば \(d=1\) とおくなどして特定の解を一つ見つけてもよい)。この問題の解の性質について考察しなさい。