15. Determinant 1

線形代数学 I - 第15回講義資料

行列式の定義と基本性質

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1. 本日の学習目標

本講義では、正方行列の最も重要な特性の一つである「行列式」について学びます。以下の4点を達成することを目標とします。

行列式の定義の理解: 行列式が何であり、どのような幾何学的意味を持つかを説明できる。
計算能力の習得: 2次および3次の正方行列の行列式を正確に計算できる。
基本性質の理解: 行列式を特徴づける3つの公理（多重線形性、交代性、正規性）を理解し、それらから導かれる諸性質を説明できる。
応用への接続: 行列式を用いて、行列の可逆性（逆行列が存在するか否か）を判定できる。

2. 行列式とは何か？

2.1 行列式への導入

行列式（determinant）は、$n$次正方行列$A$に対してただ一つ定まるスカラー（数）であり、$\det(A)$または$|A|$と表記されます。この値は、行列が持つ情報を凝縮した、非常に強力な指標です。

行列式は、主に以下の2つの側面から理解されます。

幾何学的意味: 行列$A$が表す線形変換が、「図形の体積（面積）を何倍に拡大（または縮小）するか」という体積変化率を表します。
- 2次正方行列の行列式の絶対値は、その列ベクトルが張る平行四辺形の面積に等しくなります。
- 3次正方行列の行列式の絶対値は、その列ベクトルが張る平行六面体の体積に等しくなります。
- 行列式の符号は、図形の「向き」が維持されるか（正）、反転されるか（負）を示します。
代数的意味: 行列$A$が可逆である（逆行列$A^{-1}$を持つ）かどうかを判定する指標となります。具体的には、$\det(A) \neq 0$であることが、逆行列が存在するための必要十分条件です。これは、連立1次方程式の解の存在とも密接に関連します。

2.2 2次行列の行列式

$2$次正方行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の行列式は、以下で定義されます。

\[\det(A) = \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = ad - bc\]

これは「主対角成分の積」から「副対角成分の積」を引いたものと覚えることができます。

例題 2.1 行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式を求めなさい。

解定義に従い、 $\(\det(A) = 4 \cdot 2 - (-1) \cdot 3 = 8 - (-3) = 11$\)

2.3 3次行列の行列式：サラスの方法

$3$次正方行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式は、サラス（Sarrus）の方法と呼ばれる便利な計算方法で求められます。

\[ \begin{aligned} \det(A) = & \ a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) \end{aligned} \]

これは、行列の右側に第1列と第2列を書き足し、右下がりの3つの積の和から、左下がりの3つの積の和を引くことで計算できます。

例題 2.2 行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ の行列式を求めなさい。

解サラスの方法を用いて、 $$ \begin{aligned} \det(B) &= (2 \cdot 0 \cdot 5) + (1 \cdot 4 \cdot 2) + (3 \cdot (-1) \cdot (-1)) \ & \qquad - {(3 \cdot 0 \cdot 2) + (2 \cdot 4 \cdot (-1)) + (1 \cdot (-1) \cdot 5)} \ &= (0 + 8 + 3) - (0 - 8 - 5) \ &= 11 - (-13) = 24 \end{aligned} $$

【注意】 サラスの方法は3次行列にのみ適用可能な便法です。4次以上の行列式には用いることができません。

3. 行列式を特徴づける3つの公理

$n$次行列式の一般的な定義は複雑ですが、その本質は以下の3つの性質（公理）によって完全に特徴づけられます。これらの公理を理解することが、行列式の諸性質を体系的に把握する鍵となります。ここでは、行列を列ベクトルの集まり $A = (\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_n)$ と見て、列に関する性質として述べます（行に関しても同様の性質が成り立ちます）。

例として、先ほどの例題2.2の行列 $B$ を使って、各公理の意味を確認していきましょう。 $\(B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix}, \quad \det(B) = 24$\)

公理1：多重線形性 (Multilinearity)

行列式は、各列について線形性を持ちます。

スカラー倍: ある列ベクトルを $c$ 倍すると、行列式の値も $c$ 倍になる。 $$ \det(\dots, c\vec{a}_j, \dots) = c \cdot \det(\dots, \vec{a}_j, \dots) $$
和: ある列ベクトルが2つのベクトルの和で表されるとき、行列式は2つの行列式の和に分解できる。 $$ \det(\dots, \vec{a}_j + \vec{b}_j, \dots) = \det(\dots, \vec{a}_j, \dots) + \det(\dots, \vec{b}_j, \dots) $$

【具体例（3次行列）】 行列 $B$ の第2列を2倍した行列 $B'$ を考えます。 $\(B' = \begin{pmatrix} 2 & \mathbf{2} & 3 \\ -1 & \mathbf{0} & 4 \\ 2 & \mathbf{-2} & 5 \end{pmatrix}$\) 公理によれば $\det(B') = 2 \cdot \det(B) = 2 \cdot 24 = 48$ となるはずです。実際にサラスの方法で計算してみましょう。 $$ \begin{aligned} \det(B') &= (2 \cdot 0 \cdot 5) + (2 \cdot 4 \cdot 2) + (3 \cdot (-1) \cdot (-2)) \ & \qquad - {(3 \cdot 0 \cdot 2) + (2 \cdot 4 \cdot (-2)) + (2 \cdot (-1) \cdot 5)} \ &= (0 + 16 + 6) - (0 - 16 - 10) \ &= 22 - (-26) = 48 \end{aligned} $$ 確かに、公理の通り $\det(B') = 2 \det(B)$ となっていることが確認できました。

公理2：交代性 (Alternating Property)

隣り合う2つの列を入れ替えると、行列式の符号が反転する。 $\(\det(\dots, \vec{a}_i, \dots, \vec{a}_j, \dots) = - \det(\dots, \vec{a}_j, \dots, \vec{a}_i, \dots)$\)

【具体例（3次行列）】 行列 $B$ の第1列と第2列を入れ替えた行列 $B''$ を考えます。 $\(B'' = \begin{pmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{2} & 3 \\ \mathbf{0} & \mathbf{-1} & 4 \\ \mathbf{-1} & \mathbf{2} & 5 \end{pmatrix}$\) 公理によれば $\det(B'') = - \det(B) = -24$ となるはずです。計算してみましょう。 $$ \begin{aligned} \det(B'') &= (1 \cdot (-1) \cdot 5) + (2 \cdot 4 \cdot (-1)) + (3 \cdot 0 \cdot 2) \ & \qquad - {(3 \cdot (-1) \cdot (-1)) + (1 \cdot 4 \cdot 2) + (2 \cdot 0 \cdot 5)} \ &= (-5 - 8 + 0) - (3 + 8 + 0) \ &= -13 - 11 = -24 \end{aligned} $$ 確かに符号が反転していることがわかります。

この性質から、2つの列が等しい行列の行列式は 0 になることが導かれます。なぜなら、同じ列を入れ替えても行列は変わらない一方、符号は反転するはずなので、$\det(A) = -\det(A)$ となり、これは $\det(A)=0$ を意味するからです。

【具体例（2つの列が等しい場合）】 行列 $B$ の第2列を第1列で置き換えた行列 $C$ を考えます。 $\(C = \begin{pmatrix} 2 & \mathbf{2} & 3 \\ -1 & \mathbf{-1} & 4 \\ 2 & \mathbf{2} & 5 \end{pmatrix}$\) 第1列と第2列が等しいので、行列式は0になるはずです。 $$ \begin{aligned} \det(C) &= (2 \cdot (-1) \cdot 5) + (2 \cdot 4 \cdot 2) + (3 \cdot (-1) \cdot 2) \ & \qquad - {(3 \cdot (-1) \cdot 2) + (2 \cdot 4 \cdot 2) + (2 \cdot (-1) \cdot 5)} \ &= (-10 + 16 - 6) - (-6 + 16 - 10) \ &= 0 - 0 = 0 \end{aligned} $$ 理論通り、行列式が0になることが確認できました。

公理3：正規性 (Normalization)

単位行列 $I$ の行列式は $1$ である。 $\(\det(I) = \det(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n) = 1$\) ここで $\vec{e}_i$ は標準単位ベクトルです。これは、行列式が測る「体積」の基準が、単位立方体の体積（$1$）であることを意味します。

【具体例（3次単位行列）】 3次単位行列 $I_3$ の行列式を計算してみます。 $\(I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$\) $$ \begin{aligned} \det(I_3) &= (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 0) \ & \qquad - {(0 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot 0 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 1)} \ &= (1 + 0 + 0) - (0 + 0 + 0) = 1 \end{aligned} $$ 確かに、$\det(I_3)=1$ となります。

4. 行列式の重要な性質

上記の3公理から、以下の重要な性質がすべて導出されます。

4. 行列式の重要な性質

上記の3公理から、以下の重要な性質がすべて導出されます。

性質1：行基本変形との関係

ある行（列）に別の行（列）の定数倍を加えても、行列式の値は変わらない。
2つの行（列）を入れ替えると、行列式の符号が反転する。（公理2の再掲）
ある行（列）を $c$ 倍すると、行列式は $c$ 倍になる。（公理1の帰結）

【性質1-1の証明（なぜ値が変わらないのか）】 行列 $A=(\vec{a}_1, \dots, \vec{a}_i, \dots, \vec{a}_j, \dots, \vec{a}_n)$ の第 $j$ 列に、第 $i$ 列の $c$ 倍を加えてみましょう。新しい行列を $A'$ とします。 $A' = (\dots, \vec{a}_i, \dots, \vec{a}_j + c\vec{a}_i, \dots)$ この行列式を、公理1（多重線形性）を使って分解します。 $\(\det(A') = \det(\dots, \vec{a}_j + c\vec{a}_i, \dots) = \det(\dots, \vec{a}_j, \dots) + \det(\dots, c\vec{a}_i, \dots)$\) 右辺第2項に、公理1（スカラー倍）を適用します。 $\(\det(\dots, c\vec{a}_i, \dots) = c \cdot \det(\dots, \vec{a}_i, \dots, \vec{a}_i, \dots)$\) この行列は第 $i$ 列と第 $j$ 列が同じベクトル $\vec{a}_i$ になっています。公理2の帰結より、同じ列を持つ行列の行列式は 0 です。よって、 $\(\det(A') = \det(A) + c \cdot 0 = \det(A)$\) となり、行列式の値は変わらないことが示されました。

【具体例（3次行列）】 行列 $B$ の第3列に、第1列の(-2)倍を加えてみます。新しい行列を $B'''$ とします。 $\(B''' = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 + (-2) \cdot 2 \\ -1 & 0 & 4 + (-2) \cdot (-1) \\ 2 & -1 & 5 + (-2) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 6 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$\) 上記の証明によれば、$\det(B''') = \det(B) = 24$ となるはずです。計算して確かめてみましょう。 $$ \begin{aligned} \det(B''') &= (2 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 6 \cdot 2) + ((-1) \cdot (-1) \cdot (-1)) \ & \qquad - {((-1) \cdot 0 \cdot 2) + (2 \cdot 6 \cdot (-1)) + (1 \cdot (-1) \cdot 1)} \ &= (0 + 12 - 1) - (0 - 12 - 1) \ &= 11 - (-13) = 24 \end{aligned} $$ 予想通り、行列式の値は変わらないことが確認できました。この性質は、行列式を計算する上で非常に重要です（次回の余因子展開で活用します）。

性質2：転置行列の行列式

行列 $A$ とその転置行列 $A^T$ の行列式は等しい。 $\(\det(A^T) = \det(A)$\) これにより、これまで列ベクトルについて述べてきた全ての性質（多重線形性、交代性など）は、行ベクトルに関しても同様に成り立つことが保証されます。

【具体例（3次行列）】 行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ （$\det(B) = 24$）の転置行列 $B^T$ を考えます。 $$ B^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \ 1 & 0 & -1 \ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} $$ この行列式をサラスの方法で計算してみましょう。

\[ \begin{aligned} \det(B^T) &= (2 \cdot 0 \cdot 5) + ((-1) \cdot (-1) \cdot 3) + (2 \cdot 1 \cdot 4) \\ & \qquad - \{(2 \cdot 0 \cdot 3) + (2 \cdot (-1) \cdot 4) + ((-1) \cdot 1 \cdot 5)\} \\ &= (0 + 3 + 8) - (0 - 8 - 5) \\ &= 11 - (-13) = 24 \end{aligned} \]

確かに $\det(B^T) = \det(B)$ となっていることが確認できました。

性質3：積の行列式

$n$次正方行列 $A, B$ に対して、積 $AB$ の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい。 $\(\det(AB) = \det(A)\det(B)$\) 【注意】 $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$ は一般に成り立ちません。

例題 4.1 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ に対し、$\det(AB) = \det(A)\det(B)$ を確認しなさい。

解 $\det(A) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 1$ $\det(B) = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 2$ よって、$\det(A)\det(B) = 1 \cdot 2 = 2$。

一方、行列の積は $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 11 & 16 \end{pmatrix}$ その行列式は $\det(AB) = 7 \cdot 16 - 10 \cdot 11 = 112 - 110 = 2$。したがって、$\det(AB) = \det(A)\det(B)$ が成立する。

【具体例（3次行列）】 行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ と、上三角行列 $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ を考えます。まず、それぞれの行列式を計算します。 * $\det(B) = 24$ （計算済み） * $\det(D) = (1 \cdot (-1) \cdot 2) + (2 \cdot 3 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 0) - (0 + 0 + 0) = -2$

よって、性質3によれば $\det(BD) = \det(B)\det(D) = 24 \cdot (-2) = -48$ となるはずです。実際に行列の積 $BD$ を計算してみましょう。 $\(BD = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 9 \\ -1 & -2 & 8 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix}$\) 次に、この行列 $BD$ の行列式を計算します。 $$ \begin{aligned} \det(BD) &= (2 \cdot (-2) \cdot 7) + (3 \cdot 8 \cdot 2) + (9 \cdot (-1) \cdot 5) \ & \qquad - {(9 \cdot (-2) \cdot 2) + (2 \cdot 8 \cdot 5) + (3 \cdot (-1) \cdot 7)} \ &= (-28 + 48 - 45) - (-36 + 80 - 21) \ &= -25 - (23) = -48 \end{aligned} $$ 確かに $\det(BD) = \det(B)\det(D)$ が成立していることが確認できました。

性質4：逆行列の存在条件

$n$次正方行列 $A$ について、以下は同値である。

$A$ が逆行列 $A^{-1}$ を持つ $\iff \det(A) \neq 0$

証明の概略: もし $A^{-1}$ が存在すれば、$AA^{-1} = I$ である。両辺の行列式を取ると、性質3より $\det(A)\det(A^{-1}) = \det(I)$。公理3より $\det(I) = 1$ なので、$\det(A)\det(A^{-1}) = 1$ となる。この式が成り立つためには、$\det(A) \neq 0$ でなければならない。また、このとき $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ であることもわかる。

例題 4.2 行列 $F = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ は逆行列を持つか判定しなさい。

解 $\det(F) = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 12 - 12 = 0$ 行列式が $0$ であるため、行列 $F$ は逆行列を持たない。

【具体例（3次行列）】 * 行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ を考えます。我々の計算により $\det(B) = 24$ です。これは $0$ ではないため、行列 $B$ は逆行列 $B^{-1}$ を持ちます。さらに、証明からわかるように、その逆行列の行列式は $\det(B^{-1}) = 1/\det(B) = 1/24$ となります。

一方、公理2の例で用いた行列 $C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ を考えます。この行列は第1列と第2列が等しいため、列ベクトルが線形従属の関係にあります。そして、その行列式は $\det(C) = 0$ でした。したがって、行列 $C$ は逆行列を持ちません。