4. ベクトルと行列

線形代数学 I: 行列の導入と基本演算

前回まではベクトルを扱ってきましたが、今回からは線形代数学のもう一つの主役である行列 (Matrix) を導入します。行列は、データを整理したり、ベクトル間の変換（写像）を表現したりするための強力なツールです。

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第1章行列の定義と基本

1.1 行列とは何か？

定義: 行列 (Matrix) 行列とは、数や記号、式などを矩形（長方形）状に配列したものです。\(m\)個の行と\(n\)個の列を持つ行列 \(A\) は次のように表記されます。

\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

ここで、\(a_{ij}\) は行列\(A\)の\(i\)行\(j\)列目に位置する要素 (element) を表します。

行列のサイズ (Size): 行列の大きさは「行数 × 列数」で表現され、\(m \times n\) 行列（m-by-n matrix）のように呼びます。

例: \(\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)\) この行列 \(A\) は、2つの行と3つの列を持つため、\(2 \times 3\) 行列です。

1.2 特殊な形状の行列

特定の形状を持つ行列には、特別な名前が付けられています。

正方行列 (Square Matrix): 行数と列数が等しい (\(m=n\)) 行列。例: \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) は \(2 \times 2\) の正方行列です。
行ベクトル (Row Vector): 1つの行のみを持つ行列 (\(1 \times n\) 行列)。例: \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\) は \(1 \times 3\) の行ベクトルです。
列ベクトル (Column Vector): 1つの列のみを持つ行列 (\(m \times 1\) 行列)。私たちがこれまで「ベクトル」として扱ってきたものは、この列ベクトルです。例: \(\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) は \(3 \times 1\) の列ベクトルです。

第2章行列の基本演算

行列に対しても、ベクトルと同様に「和」と「スカラー倍」の演算が定義されます。

2.1 行列の和と差

定義: 行列の和 (Matrix Addition) 同じサイズの行列 \(A\) と \(B\) の和 \(A + B\) は、対応する位置の要素同士を足し合わせることで計算されます。

\[(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\]

重要: サイズが異なる行列同士の和は定義されません。

例: \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\) のとき、 \(\(A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)\)

行列の和には、以下の性質があります。 * 交換法則: \(A + B = B + A\) * 結合法則: \((A + B) + C = A + (B + C)\) * 単位元: すべての要素が0である零行列 (Zero Matrix) \(O\) を加えると、元の行列は変化しません (\(A + O = A\))。 * 逆元: 各要素の符号を反転させた負行列 (Negative Matrix) \(-A\) を加えると、零行列になります (\(A + (-A) = O\))。

2.2 行列のスカラー倍

定義: 行列のスカラー倍 (Scalar Multiplication) 行列 \(A\) とスカラー（実数）\(c\) の積 \(cA\) は、\(A\) のすべての要素に \(c\) を掛けることで計算されます。

\[(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}\]

例: \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), \(c = 3\) のとき、 \(\(cA = 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 3 & 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}\)\)

スカラー倍は以下の性質を満たします。 * \(c(A + B) = cA + cB\) * \((c + d)A = cA + dA\) * \(c(dA) = (cd)A\) * \(1A = A\)

第3章行列とベクトルの関係

行列は、単なる数の配列ではなく、「ベクトルを集めたもの」と解釈することができ、これが非常に重要な視点となります。

3.1 行列を列ベクトルの集合とみなす

\(m \times n\) 行列 \(A\) は、\(m\)次元の列ベクトルが \(n\)個横に並んだものと見なすことができます。 \(n\)個の列ベクトルを \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\) とすると、行列 \(A\) は次のように表現できます。

\[A = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \\ | & | & & | \end{pmatrix}\]

例 1: 列ベクトル \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) を並べると、\(2 \times 2\) 行列 \(A\) が構成されます。 \(\(A = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)\)

例 2: 列ベクトル \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) を並べると、\(3 \times 3\) 行列 \(A\) が構成されます。 \(\(A = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}\)\)

同様に、行列を「行ベクトルを縦に積み重ねたもの」と解釈することも可能です。この視点は、今後の学習（特に行列の積）において極めて重要になります。