5. ベクトルと行列

線形代数学 I: 行列の積、逆行列、そして線形変換

今回は、行列演算の核心である行列の積を学びます。これは単なる要素ごとの掛け算ではなく、線形変換の合成という深い幾何学的意味を持つ、線形代数学で最も重要な概念の一つです。

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第1章行列の積 (Matrix Multiplication)

1.1 行列積の定義と計算方法

行列の積は、一方の行列の「行」と他方の行列の「列」の間の内積によって定義されます。

定義: 行列の積 $m \times n$ 行列 $A$ と $n \times p$ 行列 $B$ の積 $AB$ は、$m \times p$ 行列となり、その $(i, j)$ 成分は次のように計算されます。

\[(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}\]

これは、$A$ の $i$ 行目のベクトルと $B$ の $j$ 列目のベクトルの内積を取ることに相当します。

重要なルール: 行列の積 $AB$ が定義できるのは、左側の行列 $A$ の列数と、右側の行列 $B$ の行数が一致する場合に限られます。 - $(m \times \underline{\mathbf{n}})$ 行列と $(\underline{\mathbf{n}} \times p)$ 行列の積は $\to$ $(m \times p)$ 行列

例: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ の積 $AB$

$(AB)_{11}$ (1行1列目): $A$の1行目 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $B$の1列目 $\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$ の内積 $(1)(5) + (2)(7) = 5 + 14 = 19$
$(AB)_{12}$ (1行2列目): $A$の1行目 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $B$の2列目 $\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ の内積 $(1)(6) + (2)(8) = 6 + 16 = 22$
$(AB)_{21}$ (2行1列目): $A$の2行目 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$ と $B$の1列目 $\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$ の内積 $(3)(5) + (4)(7) = 15 + 28 = 43$
$(AB)_{22}$ (2行2列目): $A$の2行目 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$ と $B$の2列目 $\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ の内積 $(3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$

よって、積は $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ となります。

例： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$（$3 \times 2$ 行列）と $B = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}$（$2 \times 3$ 行列）の積を計算する。

$(AB){11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} = 1 \times 7 + 2 \times 10 = 7 + 20 = 27$

$(AB){12} = a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} = 1 \times 8 + 2 \times 11 = 8 + 22 = 30$

$(AB){13} = a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} = 1 \times 9 + 2 \times 12 = 9 + 24 = 33$

$(AB){21} = a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} = 3 \times 7 + 4 \times 10 = 21 + 40 = 61$

$(AB){22} = a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} = 3 \times 8 + 4 \times 11 = 24 + 44 = 68$

$(AB){23} = a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} = 3 \times 9 + 4 \times 12 = 27 + 48 = 75$

$(AB){31} = a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} = 5 \times 7 + 6 \times 10 = 35 + 60 = 95$

$(AB){32} = a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} = 5 \times 8 + 6 \times 11 = 40 + 66 = 106$

$(AB){33} = a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} = 5 \times 9 + 6 \times 12 = 45 + 72 = 117$

よって、$AB = \begin{pmatrix} 27 & 30 & 33 \\ 61 & 68 & 75 \\ 95 & 106 & 117 \end{pmatrix}$ となります。

例（続き）：次に、$B$ と $A$ の積 $BA$ を計算する。

$B = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}$（$2 \times 3$ 行列）と $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$（$3 \times 2$ 行列）の積：

$(BA){11} = b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} + b_{13}a_{31} = 7 \times 1 + 8 \times 3 + 9 \times 5 = 7 + 24 + 45 = 76$

$(BA){12} = b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22} + b_{13}a_{32} = 7 \times 2 + 8 \times 4 + 9 \times 6 = 14 + 32 + 54 = 100$

$(BA){21} = b_{21}a_{11} + b_{22}a_{21} + b_{23}a_{31} = 10 \times 1 + 11 \times 3 + 12 \times 5 = 10 + 33 + 60 = 103$

$(BA){22} = b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22} + b_{23}a_{32} = 10 \times 2 + 11 \times 4 + 12 \times 6 = 20 + 44 + 72 = 136$

よって、$BA = \begin{pmatrix} 76 & 100 \\ 103 & 136 \end{pmatrix}$ となります。

$AB$ は $3 \times 3$ 行列、$BA$ は $2 \times 2$ 行列となり、サイズが異なります。これは行列の積の順序によって結果の次元が変わることを示しています。

1.2 行列積の重要な性質

行列の積は、実数の掛け算とは異なる性質を持ちます。

結合法則: $(AB)C = A(BC)$
- 積の順序（括弧の位置）を変えても結果は同じです。
分配法則: $A(B+C) = AB + AC$ および $(A+B)C = AC + BC$
- 和に対する分配が可能です。
スカラー倍との関係: $c(AB) = (cA)B = A(cB)$
- スカラー倍はどの行列に掛けても結果は同じです。

⚠️ 1.3 最重要事項: 行列積は交換可能ではない (非可換性)

実数の世界では $ab = ba$ が常に成り立ちますが、行列の積では一般に $AB \neq BA$ です。積の順序を入れ替えると、結果が異なるか、あるいは積が定義できなくなることさえあります。

例: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ - $AB = \begin{pmatrix} (1)(4)+(2)(2) & (1)(1)+(2)(5) \\ (3)(4)+(0)(2) & (3)(1)+(0)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 11 \\ 12 & 3 \end{pmatrix}$ - $BA = \begin{pmatrix} (4)(1)+(1)(3) & (4)(2)+(1)(0) \\ (2)(1)+(5)(3) & (2)(2)+(5)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 17 & 4 \end{pmatrix}$ 明らかに、$AB \neq BA$ です。

第2章特殊な行列と逆行列

2.1 単位行列 (Identity Matrix): 行列の積における「1」

定義: 単位行列 $I$ 対角成分がすべて $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ の正方行列を単位行列と呼び、$I$ と表記します。

\[I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

単位行列は、任意の行列 $A$ に対して $AI = A$ および $IA = A$ を満たす、乗法における単位元です。

2.2 逆行列 (Inverse Matrix): 行列の「割り算」

定義: 逆行列 $A^{-1}$ $n$次正方行列 $A$ に対して、$AB = BA = I_n$ を満たす正方行列 $B$ が存在するとき、$B$ を $A$ の逆行列と呼び、$A^{-1}$ と表記します。

逆行列が存在する行列を正則行列 (invertible) といいます。
逆行列が存在しない行列を特異行列 (singular) といいます。

2x2行列の逆行列の公式: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、行列式 (determinant) $\det(A) = ad-bc$ が $0$ でない場合にのみ存在し、以下の式で与えられます。

\[A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]

例: $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。 1. 行列式を計算: $\det(A) = (3)(2) - (1)(2) = 4$。($4 \neq 0$ なので逆行列は存在する) 2. 公式を適用: $\(A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/4 \\ -1/2 & 3/4 \end{pmatrix}$\)

第3章行列積の応用と解釈

3.1 幾何学的解釈: 線形変換の合成

行列の積 $AB$ は、線形変換の合成として解釈できます。ベクトル $\mathbf{x}$ に行列積 $AB$ を作用させること $(AB)\mathbf{x}$ は、 1. まず、$\mathbf{x}$ に $B$ を作用させて変換 ($\mathbf{y} = B\mathbf{x}$) 2. 次に、その結果 $\mathbf{y}$ に $A$ を作用させて変換 ($A\mathbf{y} = A(B\mathbf{x})$) という、2つの変換を連続して行うことに等しいです。（⚠️ 右側の行列から先に作用することに注意）

例: 回転変換の合成 平面を角度 $\theta$ だけ回転させる行列は $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ です。角度 $\theta$ の回転の後に、さらに角度 $\phi$ の回転を行う合成変換は、行列の積 $R(\phi)R(\theta)$ で表され、これは加法定理により $R(\phi+\theta)$ と一致します。

例: 角度 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ に対して、行列

$A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$を考えます。このとき、$\mathbf{x}=(1,0)^T$ に対して

\[Ax = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}\]

\[A^2 x = A(Ax) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ 2\cos\theta\sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 2\theta \\ \sin 2\theta \end{pmatrix}\]

3.2 ケーリー・ハミルトンの定理 (Cayley-Hamilton Theorem)

この定理は、どんな正方行列も、それ自身が満たすある特定の多項式方程式を持つことを示しています。

定理 (2x2行列の場合) $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると、次の関係式が常に成り立ちます。

\[A^2 - (a+d)A + (ad-bc)I = O\]

ここで、$a+d$ は対角成分の和（トレース）、$ad-bc$ は行列式です。

例: $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ で定理を確認。 - $a+d = 3+2 = 5$ - $ad-bc = (3)(2)-(1)(2) = 4$ - $A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 5 \\ 10 & 6 \end{pmatrix}$

定理の式に代入すると、 $$ A^2 - 5A + 4I = \begin{pmatrix} 11 & 5 \ 10 & 6 \end{pmatrix} - 5\begin{pmatrix} 3 & 1 \ 2 & 2 \end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

\[ = \begin{pmatrix} 11 & 5 \\ 10 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & 5 \\ 10 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} 11-15+4 & 5-5+0 \\ 10-10+0 & 6-10+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \]

となり、定理が成り立つことが確認できます。