22. 固有値と固有ベクトル

線形代数学 I 講義ノート：固有値と固有ベクトル

スライド こちら

演習問題 こちら

1.1 対角化の定義

定義: \(n \times n\)行列\(A\)が対角化可能であるとは、可逆行列\(P\)と対角行列\(D\)が存在して、\(P^{-1}AP = D\)と表せることをいう。

対角化とは、行列\(A\)に対して、適切な基底変換を行うことで、より単純な形（対角行列）に変形することです。対角行列は対角成分以外がすべて0である行列で、計算や性質の分析が非常に簡単になります。

1.2 対角行列の性質

対角行列\(D = \text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)\)は以下の性質を持ちます：

\[ D^k = \text{diag}(d_1^k, d_2^k, \ldots, d_n^k) \]

2. 特性方程式と固有値

2.1 特性方程式

定義: \(n \times n\)行列\(A\)の特性方程式（固有方程式）とは、\(\det(A - \lambda I) = 0\)のことである。

この方程式の解\(\lambda\)が行列\(A\)の固有値となります。

特性多項式\(p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)は\(\lambda\)に関する\(n\)次多項式になり、最大で\(n\)個の固有値を持ちます（重複も含む）。

2.2 固有値と固有ベクトルの計算手順

特性方程式を立てる: \(\det(A - \lambda I) = 0\)
特性方程式を解く: 多項式の根として固有値\(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\)を求める
各固有値に対する固有空間を求める: 各\(\lambda_i\)に対して、\((A - \lambda_i I)x = 0\)を満たす非零ベクトル\(x\)を求める
固有ベクトルの基底を構成する: 各固有空間の基底ベクトルを求める

2.3 固有値の代数的重複度と幾何的重複度

代数的重複度: 特性多項式における固有値の重複度
幾何的重複度: 対応する固有空間の次元

例えば、\(\lambda = 3\)が特性多項式の二重根（代数的重複度2）であるとき、対応する固有空間の次元（幾何的重複度）は1または2になりえます。

3. 対角化の理論

3.1 対角化可能条件

定理: \(n \times n\)行列\(A\)が対角化可能であるための必要十分条件は、\(A\)の固有ベクトルが、\(n\)本取れることである。

これは次の条件と同値です：

\(A\)のすべての固有値に対して、代数的重複度と幾何的重複度が等しい
\(A\)の固有ベクトルが\(n\)個線形独立に存在する

3.2 対角化の手順

\(A\)の固有値\(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\)を求める
各固有値\(\lambda_i\)に対して、固有ベクトル\(v_i\)を求める
固有ベクトルを列に並べた行列\(P = [v_1, v_2, \ldots, v_n]\)を構成する
対角行列\(D = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)\)を構成する
\(P^{-1}AP = D\)を確認する

3.3 対角化が可能でない場合

以下の場合は対角化できません：

固有ベクトルの数が足りない
複素数の固有値を持つ実行列（実際には可能だが、この範囲では扱わない）

4. 具体例による対角化の計算

例題1：2×2行列の対角化

行列 \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) を対角化しましょう。

Step 1: 特性方程式を立てる \(\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (3-\lambda)^2 - 1 = (3-\lambda)^2 - 1 = 0\)

Step 2: 特性方程式を解く \((3-\lambda)^2 = 1\) \(3-\lambda = \pm 1\) \(\lambda = 3 \pm 1 = 2, 4\)

従って、固有値は \(\lambda_1 = 2\) と \(\lambda_2 = 4\) です。

Step 3: 各固有値に対応する固有ベクトルを求める

\(\lambda_1 = 2\) の場合： \((A - 2I)v = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

これは \(v_1 + v_2 = 0\) を意味します。従って、\(v_1 = -v_2\) となり、例えば \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\) が固有ベクトルとなります。

\(\lambda_2 = 4\) の場合： \((A - 4I)v = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

これは \(-v_1 + v_2 = 0\) を意味します。従って、\(v_1 = v_2\) となり、例えば \(v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) が固有ベクトルとなります。

Step 4: 対角化行列 \(P\) と対角行列 \(D\) を構成する

\(P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\), \(D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\)

Step 5: 検証

\(P^{-1}AP = D\) を確認します。

\(P^{-1} = \frac{1}{\det(P)}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

\(P^{-1}AP = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = D\)

以上により、行列 \(A\) は対角化され、\(P^{-1}AP = D\) が成り立つことが確認できました。

例題2：3×3行列の対角化

行列 \(A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}\) を対角化しましょう。

Step 1: 特性方程式を立てる \(\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 4-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 4-\lambda \end{bmatrix}\)

これを展開すると： \(= (1-\lambda)[(4-\lambda)(4-\lambda) - 1]\) \(= (1-\lambda)[(4-\lambda)^2 - 1]\) \(= (1-\lambda)[(16 - 8\lambda + \lambda^2) - 1]\) \(= (1-\lambda)(15 - 8\lambda + \lambda^2)\)

Step 2: 特性方程式を解く \((1-\lambda)(15 - 8\lambda + \lambda^2) = 0\)

従って、\(\lambda_1 = 1\) と \((15 - 8\lambda + \lambda^2) = 0\) が得られます。

二次方程式 \(\lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0\) を解くと： \(\lambda = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} = 4 \pm 1\)

よって、固有値は \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 3\), \(\lambda_3 = 5\) です。

Step 3: 各固有値に対応する固有ベクトルを求める

\(\lambda_1 = 1\) の場合： \((A - I)v = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

これは \(3v_1 + v_3 = 0\) および \(v_1 + 3v_3 = 0\) を意味しますが、これらは同じ条件です。また、\(v_2\) は自由に選べます。従って、\(v_1 = -v_3\), \(v_2\) は任意となり、例えば \(v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) が固有ベクトルとなります。

\(\lambda_2 = 3\) の場合： \((A - 3I)v = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

これより、\(v_1 + v_3 = 0\), \(-2v_2 = 0\), \(v_1 + v_3 = 0\) となります。従って、\(v_2 = 0\), \(v_1 = -v_3\) となり、例えば \(v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\) が固有ベクトルとなります。

\(\lambda_3 = 5\) の場合： \((A - 5I)v = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

これより、\(-v_1 + v_3 = 0\), \(-4v_2 = 0\), \(v_1 - v_3 = 0\) となります。従って、\(v_2 = 0\), \(v_1 = v_3\) となり、例えば \(v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\) が固有ベクトルとなります。

Step 4: 対角化行列 \(P\) と対角行列 \(D\) を構成する

\(P = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\), \(D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\)

Step 5: 検証

\(P^{-1}AP = D\) を確認します（計算は省略）。

5. 対角化の応用

5.1 行列の冪乗計算

対角化された行列 \(A = PDP^{-1}\) に対して、\(A^k = PD^kP^{-1}\) が成り立ちます。対角行列の冪乗計算は各対角成分を冪乗するだけなので、複雑な行列の冪乗計算が簡単になります。

例: \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) の10乗を計算する。

先ほどの例題1より、\(A = PDP^{-1}\) で \(P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\), \(D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\) です。

\(A^{10} = PD^{10}P^{-1} = P\begin{bmatrix} 2^{10} & 0 \\ 0 & 4^{10} \end{bmatrix}P^{-1}\) \(= P\begin{bmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & 1048576 \end{bmatrix}P^{-1}\)

\(P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

計算すると、\(A^{10} = \begin{bmatrix} 524800 & 523776 \\ 523776 & 524800 \end{bmatrix}\) が得られます。

5.2 線形漸化式の一般項

\(a_{n+1} = c_1a_n + c_2a_{n-1} + \ldots + c_ka_{n-k+1}\) という線形漸化式は、適切な行列 \(A\) を定義することで、\(\vec{x}_{n+1} = A\vec{x}_n\) という形に書き換えられます。対角化を用いることで、一般項を簡単に求めることができます。

5.3 微分方程式の解法

微分方程式系 \(\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}\) の解は、\(A\) が対角化可能なら \(\vec{x}(t) = Pe^{Dt}P^{-1}\vec{x}(0)\) と表せます。ここで \(e^{Dt} = \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}, \ldots, e^{\lambda_n t})\) です。